НЕКОММУТАТИВНЫЙ КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Л. Ваксман

Начиная с работ Мюррея и фон Неймана об операторных алгебрах [5], неизменный интерес привлекает построение некоммутативных аналогов наиболее фундаментальных математических теорий. Широко известны теория C*-алгебр, операторная K-теория, некоммутативная дифференциальная геометрия и теория квантовых групп. Они являются некомммутативными аналогами важных разделов общей топологии, алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории групп соответственно.

Нас будет интересовать некоммутативный комплексный анализ.

В 1934 году Лаврентьевым получен важный результат теории аппроксимации в комплексной области. Доказана возможность равномерного приближения многочленами любой непрерывной функции на компакте K без внутренних точек в комплексной плоскости . Новые подходы к этой и аналогичным теоремам были найдены в пятидесятые годы, что привело к созданию теории равномерных алгебр, тесно связанной с комплексным анализом [3].

Первые существенные результаты некоммутативного комплексного анализа получены Арвесоном в 1969 году. В основополагающей работе [7] им начато изучение некоммутативных аналогов равномерных алгебр и, в частности, введено понятие границы Шилова замкнутой подалгебры C*-алгебры.

Следующий важный шаг был сделан в середине 90-х годов. В рамках теории квантовых групп [11] были получены некоммутативные аналоги ограниченных симметрических областей [20], что привело в дальнейшем к некоммутативному аналогу теории функций в таких областях.

Отметим, что ограниченные симметрические области [6, стр. 342], привлекают неизменное внимание геометров, алгебраистов и аналитиков, поскольку служат источником точно решаемых задач комплексного анализа, некоммутативного гармонического анализа и классической математической физики.

Простейшей ограниченной симметрической областью является единичный круг D = {z ∈ C | |z| < 1}. Его квантовый аналог введен Климеком и Лесневским [12]. Из методических соображений изучение квантовой теории ограниченных симметрических областей следует начинать с квантового круга, см. вторую главу книги "Квантовые ограниченные симметрические области", размещенной на этом сайте. В третьей главе книги заложены основы теории квантовых ограниченных симметрических областей, а также приведены результаты о модулях Хариш-Чандры, пространствах функций на квантовых симметрических областях, канонических вложениях, ковариантных дифференциальных исчислениях и инвариантных дифференциальных операторах.

Имеется обширная литература о квантовых ограниченных симметрических областях, например, сборник лекций [23] и статьи Берштейн, Ваксмана, Колесника, Проскурина, Синельщикова, Столина, Туровской, Цанга, Шклярова [8, 10, 9, 21, 13, 17, 18, 1, 15, 22, 16,19]. Следует выделить работу [2], в которой методы теории унитарных дилатаций Надя-Фояша [4] используются для описания границы Шилова-Арвесона квантового шара, введенного Пушем и Вороновичем [14]. Эти тексты проще третьей главы книги, поскольку в них либо опущены доказательства, либо речь идет лишь об одной из серий картановского списка неприводимых ограниченных симметрических областей [6, стр. 387]. А результаты и доказательства третьей главы книги, применимы сразу ко всем квантовым ограниченным симметрическим областям.

Я глубоко признателен ученикам Берштейн, Колеснику, Корогодскому, Шклярову, соавторам Сойбельману, Столину и коллегам Кёлинку, Климыку, Колбу, Самойленко, Туровской, Шмюдгену, Цангу, Якобсену за многочисленные полезные обсуждения.

Особую роль в моей судьбе сыграл Владимир Дринфельд. В середине восьмидесятых годов он обучил меня основам теории квантовых групп и помог вернуться в математику после многолетнего вынужденного перерыва. И сейчас, спустя десятилетия, помощь и поддержка Володи по-прежнему очень важны для меня.